Тайна Большой теоремы Ферма

Летом 2007 года внимание российской и мировой общественности вызвало сообщение о том, что 40-летний питерский математик Григорий Перельман за доказательство гипотезы Пуанкаре удостоен приза в размере одного миллиона долларов. От денег математик отказался, чем вызвал еще больший интерес к своей загадочной персоне. Интрига с денежным призом, равнозначным Нобелевской премии, не завершилась до сих пор.

Зато со знаменитой гипотезой Пуанкаре, которая впервые была сформулирована в 1904 году, теперь все ясно. Она вычеркнута специалистами из числа недоказанных...

В мире математики существуют замечательные теоремы, история которых порой напоминает лихо закрученный триллер. Характерный пример — Большая теорема Ферма, тайна которой будоражит воображение математиков на протяжении почти трех с половиной столетий.

Многие теоремы записываются в виде многоэтажных разветвленных формул. Большая теорема, сформулированная Ферма, выражена лаконично и элегантно:

Хⁿ+ Yⁿ= Zⁿ

При n=2 эта формула знакома каждому школьнику как теорема Пифагора. Но при значениях n, превышающих 2, уравнение становится неразрешимым в целых (а значит, и рациональных) числах. Что, собственно, и требуется доказать.

В феврале 1663 года французский ученый из Тулузы Пьер Ферма, прославившийся своими работами не только в области математики, но и физики, на полях греческого трактата «Арифметика» Диофанта записал свою теорему и добавил: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство. Но поля этой книги узковаты, чтобы привести его здесь».

Надо сказать, что Ферма частенько использовал «Арифметику» в качестве рабочей тетради, оставляя на ее полях немало других ценных с научной точки зрения записей, касающихся доказательства еще целого ряда теорем. Но у Ферма была одна странная привычка, а странности, как известно, свойственны почти всем гениям. Доказав ту или иную теорему, Ферма часто записывал лишь конечный результат, не приводя всей це-почки промежуточных логических рассуждений. Может, он не любил много писать? Или бумагу экономил? Так или иначе, подробности доказательства самой знаменитой своей теоремы он тоже опустил.

Уже позднее, после его смерти, другие математики восстановили эти логические цепочки. Во всех случаях, кроме одного. Кроме доказательства той изящной задачи, которая вошла в историю как Большая теорема Ферма.

Лишь через сто с лишним лет другой знаменитый математик, Леонард Эйлер, нашел все-таки доказательство, но только для одного частного случая, при n=3. Еще через полвека П.Дирихле и А. Лежандр доказали знаменитую теорему для n=5. Позднее, по мере совершенствования вычислительной техники, теорему доказывали для все больших и больших значений n. Но всякий раз решение было связано с одним частным случаем. Общее доказательство для всех значений n по-прежнему не давалось исследователям.

Для многих видных математиков разгадка тайны, завещанной Ферма, стала смыслом жизни. К их числу относился и немецкий математик Вольфскель. Отчаявшись покорить неприступную вершину собственными силами, он оставил в 1907 году завещание, по которому тот, кто справился бы с задачей, должен был получить 100 тысяч марок — баснословную по тем временам сумму. Роль же непредвзятого арбитра Вольфскель поручил Геттингенскому математическому обществу.

Прельщенные богатым призом (далеко не все математики такие идеалисты, как наш земляк Гриорий Пеельман), тысячи ученых по всей планете взялись за поиск решения каверзной теоремы. В Геттинген потоком шли письма со всех уголков Земли. Среди претендентов были не только специалисты, но даже приказчики и домохозяйки. Увы, ни одно из посланий не содержало искомого алгоритма.

Раздосадованные неудачей, некоторые принялись утверждать, что, возможно, великий француз сам заблуждался, а то даже разыграл ехидную шутку. На хор этих завистливых голосов внятно ответил известный российский популяризатор науки Яков Перельман (однофамилец нашего уникума): «Гениального французского математика нельзя заподозрить ни в хвастовстве, ни в опрометчивости».

В 50-х годах прошлого века молодой японский математик Ю.Танияма выдвинул гипотезу, вытекающую из теории эллиптических кривых. Тогда казалось, что никакого отношения к теореме Ферма она не имеет.

Но вот еще через три десятилетия сначала немецкий математик Г.Фрей, а затем его американский коллега К.Рибетом доказали, что теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. Найденную идею развили еще двое американцев — Э.Майлс и Р.Тейлор.

Окончательный вариант доказательства был получен с помощью мощных компьютеров летом 1995 года, то есть через 332 года после Ферма. При этом распечатка материалов полученного доказательства представляла собой внушительный том.

Но означает ли это, что тайны теоремы Ферма более не существует? Многие математики считают иначе. Ведь у Ферма, понятно, не было не только компьютера, но даже и простейшей вычислительной техники. Он, несомненно, нашел некое оригинальное решение, не требующее сложных математических расчетов. Но какое?

Американские математики, между прочим, тоже остались без денежной награды. Но не потому, что отказались от нее. Просто в результате послевоенных инфляций, экономических крахов и обесценивания денег банковский капитал Вольфскеля превратился в бумагу...

Но возможность разбогатеть на математике сохраняется для всех желающих и сегодня.

Существует, по крайней мере, еще шесть математических задач, решение каждой из которых будет поощрено премией в один миллион долларов. то гипотеза Римана, уравнение Навье — Стокса, гипотеза Кука, гипотеза Ходжа, теория Янга— Миллса, гипотеза Берча и Свиннертона — Дайера.

Необходимо лишь выполнить два обязательных условия научного консультационного совета Математического института Клея в Кембридже. Первое: доказательство должно быть опубликовано в специализированном журнале. Второе: решение не должно быть опровергнуто в течение двух лет после публикации.

И, конечно же, помимо денег, удачливого исследователя ждет громкая слава.

Валерий НЕЧИПОРЕНКО